已知 $F_1,F_2$ 是椭圆和双曲线的公共焦点，$P$ 是它们的一个公共点，且 $\angle F_1PF_2=60^\circ$，则该椭圆和双曲线的离心率之积的最小值是 \((\qquad)\) ．
【难度】
【出处】
2016年全国高中数学联赛四川省预赛
【标注】
【答案】
B
【解析】
设 $|PF_1|=m,|PF_2|=n$，不妨设 $m>n$．
椭圆方程为 $\dfrac{x^2}{a_1^2}+\dfrac{y^2}{b_1^2}=1$，双曲线方程为 $\dfrac{x^2}{a_2^2}-\dfrac{y^2}{b_2^2}=1$．
两曲线的半焦距分别为 $c_1,c_2$，且 $c_1=c_2$．
由圆锥曲线定义得，$m+n=2a_1, m-n=2a_2$，所以\[m=a_1+a_2,n=a_1-a_2.\]又由余弦定理，得\[m^2+n^2-mn=4c_1^2=4c_2^2.\]所以\[(a_1+a_2)^2+(a_1-a_2)^2-(a_1+a_2)(a_1-a_2)=4c_1^2=4c_2^2.\]化简得\[a_1^2+3a_2^2=4c_1^2=4c_2^2.\]所以\[\dfrac 1{e_1^2}+\dfrac 3{e_2^2}=4.\]由均值不等式，得\[4=\dfrac 1{e_1^2}+\dfrac 3{e_2^2}\geqslant 2\sqrt{\dfrac 3{{e_1^2}{e_2^2}}}.\]所以 $e_1e_2 \geqslant \dfrac{\sqrt 3}{2}$（当 $e_1=\dfrac{\sqrt 2}{2},e_2=\dfrac{\sqrt 6}{2}$ 时等号成立）．
所以该椭圆和双曲线的离心率之积的最小值为 $\dfrac{\sqrt 3}{2}$．
椭圆方程为 $\dfrac{x^2}{a_1^2}+\dfrac{y^2}{b_1^2}=1$，双曲线方程为 $\dfrac{x^2}{a_2^2}-\dfrac{y^2}{b_2^2}=1$．
两曲线的半焦距分别为 $c_1,c_2$，且 $c_1=c_2$．
由圆锥曲线定义得，$m+n=2a_1, m-n=2a_2$，所以\[m=a_1+a_2,n=a_1-a_2.\]又由余弦定理，得\[m^2+n^2-mn=4c_1^2=4c_2^2.\]所以\[(a_1+a_2)^2+(a_1-a_2)^2-(a_1+a_2)(a_1-a_2)=4c_1^2=4c_2^2.\]化简得\[a_1^2+3a_2^2=4c_1^2=4c_2^2.\]所以\[\dfrac 1{e_1^2}+\dfrac 3{e_2^2}=4.\]由均值不等式，得\[4=\dfrac 1{e_1^2}+\dfrac 3{e_2^2}\geqslant 2\sqrt{\dfrac 3{{e_1^2}{e_2^2}}}.\]所以 $e_1e_2 \geqslant \dfrac{\sqrt 3}{2}$（当 $e_1=\dfrac{\sqrt 2}{2},e_2=\dfrac{\sqrt 6}{2}$ 时等号成立）．
所以该椭圆和双曲线的离心率之积的最小值为 $\dfrac{\sqrt 3}{2}$．
题目
答案
解析
备注
