给定正整数 $n$ 和正常数 $a$，对于满足不等式 $a_1^2 + a_{n + 1}^2 \leqslant a$ 的所有等差数列 ${a_1},{a_2}, {a_3},\cdots $，和式 $\displaystyle \sum\limits_{i = n + 1}^{2n + 1} {{a_i}} $ 的最大值为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2007年复旦大学优秀高中生文化水平选拔测试
【标注】
【答案】
A
【解析】
设公差为 $d$，易知\[\begin{split}\sum\limits_{i = n + 1}^{2n + 1} {{a_i}} &= (n + 1)\left( {{a_1} + \dfrac{3}{2}nd} \right)\\
&=(n+1)\left(a_1+\dfrac 32n\cdot \dfrac{a_{n+1}-a_1}n\right)\\
&=\dfrac{n+1}2\left(3a_{n+1}-a_1\right)\\
&\leqslant \dfrac{n+1}2\sqrt{10}\cdot \sqrt{a_{n+1}^2+a_1^2}\\
&\leqslant \dfrac{\sqrt{10a}}2(n+1)
,\end{split}\]于是去所求和式的最大值为 $\dfrac{\sqrt{10a}}2(n+1)$．
&=(n+1)\left(a_1+\dfrac 32n\cdot \dfrac{a_{n+1}-a_1}n\right)\\
&=\dfrac{n+1}2\left(3a_{n+1}-a_1\right)\\
&\leqslant \dfrac{n+1}2\sqrt{10}\cdot \sqrt{a_{n+1}^2+a_1^2}\\
&\leqslant \dfrac{\sqrt{10a}}2(n+1)
,\end{split}\]于是去所求和式的最大值为 $\dfrac{\sqrt{10a}}2(n+1)$．
题目
答案
解析
备注
