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一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为 $a$，则这个球的体积为 \((\qquad)\)
A: $\dfrac{{\sqrt 3 }}{{12}}\mathrm {\pi }{a^3}$
B: $\dfrac{{\sqrt 3 }}{4}\mathrm {\pi }{a^3}$
C: $\dfrac{{\sqrt 2 }}{{24}}\mathrm {\pi }{a^3}$
D: $\dfrac{{\sqrt 3 }}{{24}}\mathrm {\pi }{a^3}$
【难度】
【出处】
2007年复旦大学优秀高中生文化水平选拔测试
【标注】
  • 知识点
    >
    立体几何
    >
    空间几何体
    >
    空间组合体
    >
    空间几何体的接切
【答案】
C
【解析】
球心为正四面体的中心，切点为正四面体的中心在棱上的垂足，易算出半径为 $\dfrac{{\sqrt 2 }}{4}a$．再利用球的体积公式，选C．
题目 答案 解析 备注
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