在 $\triangle ABC$ 中，角 $A,B,C$ 满足：$1007A^2+1009B^2=2016C^2$，则 $\triangle ABC$ 为 \((\qquad)\) ．
【难度】
【出处】
2016年全国高中数学联赛贵州省预赛
【标注】
【答案】
D
【解析】
由 $1007A^{2}+1009B^{2}=2016C^{2}$，得\[\dfrac{2016C^{2}}{1007A^{2}}-\dfrac{1009B^{2}}{1007A^{2}}=1.\]令 $x=\dfrac{C}{A}>0$，$y=\dfrac{B}{A}>0$，则\[E:\dfrac{x^{2}}{\dfrac{1007}{2016}}-\dfrac{y^{2}}{\dfrac{1007}{1009}}=1,\]显然双曲线 $E$ 与直线 $x+y=1$ 在第一象限有交点，即\[x+y>1,x+y=1,x+y<1\]都有解．所以\[B+C>A, B+C=A, B+C<A\]都有可能，又 $A+B+C=\pi$，所以角 $A$ 取锐角、直角、钝角均有可能．又当 $A=B=C=\dfrac{\pi}3$ 时符合题意，此时 $\triangle ABC$ 为锐角三角形，因此 $\triangle ABC$ 为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形均有可能．
题目
答案
解析
备注
