先将 $8$ 个数分成 $3$ 组，$\rm I(2,4,8); \rm II(3,9,15); \rm III(6, 12), I$ 中与 $\rm II$ 中数无公因子，从而易得满足条件的排列一定为：
① 取出 $6$ 和 $12$ 两数以后，剩余数分成 $3$ 部分排列（依次）$\rm I$、$\rm II$、$\rm I$ 或 $\rm II$、$\rm I$、$\rm II$，此时，这 $6$ 个数的排列有 $2 \times 3! \times 3! \times 2 = 144$（种），而 $6$ 和 $12$ 放在不同部分相交的地方有 $2$ 种不同的放法，共有 $2 \times 144 = 288$（种）．
② 取出 $6$ 和 $12$ 两数以后，剩余数分成 $2$ 部分排列，$\rm I$、$\rm II$ 或 $\rm II$、$\rm I$，此时，这 $6$ 个数的排列有 $2 \times 3! \times 3!$ 种排列方式，而 $6$ 和 $12$ 若全部在 $\rm I$ 与 $\rm II$ 的交界处，有 $2$ 种排法，否则只有一个在交界处，另一个位置有 $6$ 种选法，因此有\[2\times 3! \times 3! \times(2+2 \times 6)=1008,\]故所求的排法为 $1008+288=1296$（种）．