点 $P$ 为椭圆 $C:\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1(a > b > 0)$ 上的一点，${F_1},{F_2}$ 为椭圆两焦点，那么 $\overrightarrow {{F_1}P} \cdot \overrightarrow {{F_2}P} $ 的最小值为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2007年武汉大学自主招生保送生测试
【标注】
【答案】
D
【解析】
设 $P\left( {x, y} \right)$，则$$\begin{split}\overrightarrow {{F_1}P} \cdot \overrightarrow {{F_2}P}&= {x^2} - {c^2} + {y^2}\\ &= {x^2} - {c^2} + {b^2}\left( {1 - \dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}}} \right)\\ &= \dfrac{{{c^2}}}{{{a^2}}}{x^2} + {b^2} - {c^2}\\ &\geqslant {b^2} - {c^2}\\ &= 2{b^2} - {a^2}.\end{split}$$
题目
答案
解析
备注
