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对函数 $f:\left[ {0,1} \right] \to \left[ {0,1} \right]$，定义 ${f_1}\left( x \right) = f\left( x \right)$，…，${f_n}\left( x \right) = f\left( {{f_{n - 1}}\left( x \right)} \right)$，$n = 1,2,3, \cdots $．满足 ${f_n}\left( x \right) = x$ 的点 $x$ 称为 $f$ 的一个 $n - $ 周期点，现设 $f(x) =\begin{cases} 2x ,&0 \leqslant x \leqslant \dfrac{1}{2},\\ 2 - 2x , &\dfrac{1}{2} < x \leqslant 1. \end{cases}$ 则 $f$ 的 $n - $ 周期点的个数是 \((\qquad)\)
A: $2n$
B: $2{n^2}$
C: ${2^n}$
D: $2(2n - 1)$
【难度】
【出处】
2010年复旦大学优秀高中生文化水平选拔测试
【标注】
  • 题型
    >
    函数
    >
    函数创新题
  • 知识点
    >
    函数
    >
    函数的图象与性质
    >
    函数的图象变换
  • 知识点
    >
    函数
    >
    函数的图象与性质
    >
    函数的零点
【答案】
C
【解析】
如图，分别为 ${f_1}\left( x \right)$，${f_2}\left( x \right)$，${f_3}\left( x \right)$ 与 $y = x$ 的交点数．
因此，归纳可知 $f$ 的 $n - $ 周期点个数是 ${2^n}$．
题目 答案 解析 备注
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