设集合 $A = \left\{ {\left( {x,y} \right)\mid {{\log }_a}x + {{\log }_a}y > 0} \right\}$，$B = \left\{ {\left( {x,y} \right)\mid y + x < a} \right\}$．若 $A \cap B = \varnothing $，则 $a$ 的取值范围是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2010年复旦大学优秀高中生文化水平选拔测试
【标注】
【答案】
D
【解析】
由题意知，$a>0$ 且 $a\ne1$．
情形一 $a>1$，则有 $xy>1$，因为$$x+y\geqslant2\sqrt{xy}>2,$$所以 $\inf\{x+y\}=2$，从而 $a\leqslant2$．
因此 $1<a\leqslant2$．
情形二 $0<a<1$，则有 $xy<1$，此时 $A \cap B \ne\varnothing $，不符合条件．
综上，$1<a\leqslant2$．
因此 $1<a\leqslant2$．
综上，$1<a\leqslant2$．
题目
答案
解析
备注
