经过坐标变换 $\begin{cases} x' = x\cos \theta + y\sin \theta ,\\ y' = - x\sin \theta + y\cos \theta , \end{cases}$ 将二次曲线 $3{x^2} - 2\sqrt 3 xy + 5{y^2} - 6 = 0$ 转化为形如 $\dfrac{{{{x'}^2}}}{{{a^2}}} \pm \dfrac{{{{y'}^2}}}{{{b^2}}} = 1$ 的标准方程，求 $\theta $ 的值并判断二次曲线的类型 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2010年复旦大学优秀高中生文化水平选拔测试
【标注】
【答案】
B
【解析】
坐标变换$$\begin{cases} x' = x\cos \theta + y\sin \theta ,\\y' = - x\sin \theta + y\cos \theta ,\\ \end{cases}$$即旋转 $\theta $ 角，于是$$\begin{cases} x = x'\cos \theta - y'\sin \theta ,\\ y = x'\sin \theta + y'\cos \theta ,\\ \end{cases}$$代入$$3{x^2} - 2\sqrt 3 xy + 5{y^2} - 6 = 0,$$注意 $x'y'$ 的系数为零，有$$ - 6\sin \theta \cos \theta - 2\sqrt 3 \left( {{{\cos }^2}\theta - {{\sin }^2}\theta } \right) + 10\sin \theta \cos \theta = 0,$$即$$2\sin \left( {2\theta - \dfrac{{\mathrm{\pi }}}{3}} \right) = 0.$$所以$$\theta = \dfrac{{\mathrm{\pi }}}{6} + \dfrac{{k{\mathrm{\pi }}}}{2},k \in {\mathbb{Z}}.$$关于 $x',y'$ 的方程为$$(4-\sqrt 3\sin{2\theta}-\cos{2\theta})x'^2+(4+\sqrt 3\sin{2\theta}+\cos{2\theta})y'^2=6,$$所以当 $\sin 2\theta = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}$，$\cos 2\theta = \dfrac{1}{2},$ 二次曲线为 $\dfrac{{{{x'}^2}}}{3} + {y'^2} = 1$；当 $\sin 2\theta = - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}$，$\cos 2\theta = - \dfrac{1}{2}$，二次曲线为 $x'^2 + \dfrac{{{{y'}^2}}}{3} = 1$．
题目
答案
解析
备注
