方程 $3^x + 5^x +7^x = 11^x$ 共有 \((\qquad)\) 个不同的实根．
【难度】
【出处】
2015年全国高中数学联赛天津市预赛
【标注】
【答案】
B
【解析】
令 $f(x) = \left(\dfrac{3}{11}\right)^x + \left(\dfrac{5}{11}\right)^x + \left(\dfrac{7}{11}\right)^x -1 $，则方程 $3^x + 5^x +7^x = 11^x$ 等价于方程 $f(x) = 0$．注意到 $f(0) = 2>0$，$f(2) = -\dfrac{38}{121}<0$，可知方程 $f(x)=0$ 在 $(0,2)$ 中有一个实根．因为 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上严格单调递减，所以方程 $f(x) = 0$ 恰有唯一实根．故选B．
题目
答案
解析
备注
