若函数 $y=f(x)$ 的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称 $y=f(x)$ 具有 $T$ 性质．下列函数中具有 $T$ 性质的是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2016年高考山东卷（文）
【标注】
【答案】
A
【解析】
根据题意，函数 $y=f(x)$（导函数为连续函数）具有 $T$ 性质，那么必然出现以下两种情形之一：
情形一 函数 $f'(x)$ 的值域包含一个形如 $[m,n]$ 的区间，其中 $m<0<n$ 且 $mn\leqslant -1$；
情形二 导函数的值域包含 $0$ 且函数存在垂直于 $x$ 轴的切线．
对于选项A，导函数为 $y'=\cos x$，其值域为 $[-1,1]$，具有 $T$ 性质，因此选项A正确；
对于选项B，导函数为 $y'=\dfrac 1x$，其值域为 $(0,+\infty)$，不具有 $T$ 性质；
对于选项C，导函数为 $y'={\rm e}^x$，其值域为 $(0,+\infty)$，不具有 $T$ 性质；
对于选项D，导函数为 $y'=3x^2$，其值域为 $[0,+\infty)$，但不存在垂直于 $x$ 轴的切线，不具有 $T$ 性质．
对于选项A，导函数为 $y'=\cos x$，其值域为 $[-1,1]$，具有 $T$ 性质，因此选项A正确；
对于选项B，导函数为 $y'=\dfrac 1x$，其值域为 $(0,+\infty)$，不具有 $T$ 性质；
对于选项C，导函数为 $y'={\rm e}^x$，其值域为 $(0,+\infty)$，不具有 $T$ 性质；
对于选项D，导函数为 $y'=3x^2$，其值域为 $[0,+\infty)$，但不存在垂直于 $x$ 轴的切线，不具有 $T$ 性质．
题目
答案
解析
备注
