在二项式 ${\left( {{x^{\frac{1}{2}}} + \dfrac{1}{{2{x^{\frac{1}{4}}}}}} \right)^n}$ 的展开式中，若前 $3$ 项的系数成等差数列，则展开式的有理项的项数为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2008年复旦大学优秀高中生文化水平选拔测试
【标注】
【答案】
B
【解析】
由二项式定理，得通项公式$${T_{r + 1}} = {\mathrm{C}}_n^r \cdot {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^r} \cdot {x^{\frac{{2n - 3r}}{4}}},$$因此前 $3$ 项的系数为 $1$、$\dfrac{n}{2}$、$\dfrac{{n\left( {n - 1} \right)}}{8}$，且成等差数列，从而得 $n = 8$．
所以$${T_{r + 1}} = {\mathrm{C}}_8^r \cdot {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^r} \cdot {x^{\frac{{16 - 3r}}{4}}},$$当 $r =0, 4,8$ 时为有理项，共 $3$ 项．
所以$${T_{r + 1}} = {\mathrm{C}}_8^r \cdot {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^r} \cdot {x^{\frac{{16 - 3r}}{4}}},$$当 $r =0, 4,8$ 时为有理项，共 $3$ 项．
题目
答案
解析
备注
