设 $\overrightarrow {{a_1}} $ 和 $\overrightarrow {{a_2}} $ 为平面上两个长度为 $1$ 的不共线向量，且它们和的模长满足 $\left| {\overrightarrow {{a_1}} + \overrightarrow {{a_2}} } \right| = \sqrt 3 $，则 $\left( {2\overrightarrow {{a_1}} - 5\overrightarrow {{a_2}} } \right)\cdot\left( {3\overrightarrow {{a_1}} + \overrightarrow {{a_2}} } \right)$ 等于 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2008年复旦大学优秀高中生文化水平选拔测试
【标注】
【答案】
D
【解析】
因为 $\left| {\overrightarrow {{a_1}} + \overrightarrow {{a_2}} } \right| = \sqrt 3 $，所以$${\overrightarrow {{a_1}} ^2} + 2\overrightarrow {{a_1}} \cdot \overrightarrow {{a_2}} + {\overrightarrow {{a_2}} ^2} = 3,$$于是$$\overrightarrow {{a_1}} \cdot \overrightarrow {{a_2}} = \dfrac{1}{2}.$$因此$$\left( {2\overrightarrow {{a_1}} - 5\overrightarrow {{a_2}} } \right)\cdot\left( {3\overrightarrow {{a_1}} + \overrightarrow {{a_2}} } \right) = 6{\overrightarrow {{a_1}} ^2} - 13\overrightarrow {{a_1}} \cdot \overrightarrow {{a_2}} - 5{\overrightarrow {{a_2}} ^2} = - \dfrac{{11}}{2}.$$
题目
答案
解析
备注
