已知 $x,y>0$，则方程组 $\begin{cases} {x^{x - y}} = {y^{x + y}} ,\\ y\sqrt x = 1\end{cases}$ 有 \((\qquad)\) 组解．
【难度】
【出处】
2008年复旦大学优秀高中生文化水平选拔测试
【标注】
【答案】
B
【解析】
显然 $x=1,y=1$ 是方程组的解；
因为$$\begin{cases} \left( {x - y} \right)\ln x = \left( {x + y} \right)\ln y ,\\ \ln y + \dfrac{1}{2}\ln x = 0 .\\\end{cases}$$得$$ \dfrac{{\ln x}}{{\ln y}} = \dfrac{{x + y}}{{x - y}} = - 2,$$所以 $y = 3x$，于是原方程组还有一组解 $x=3^{-\frac 23},y=3^{\frac 13}$．
因为$$\begin{cases} \left( {x - y} \right)\ln x = \left( {x + y} \right)\ln y ,\\ \ln y + \dfrac{1}{2}\ln x = 0 .\\\end{cases}$$得$$ \dfrac{{\ln x}}{{\ln y}} = \dfrac{{x + y}}{{x - y}} = - 2,$$所以 $y = 3x$，于是原方程组还有一组解 $x=3^{-\frac 23},y=3^{\frac 13}$．
题目
答案
解析
备注
