已知 ${F_1},{F_2}$ 是椭圆和双曲线的公共的焦点，$P$ 是它们的一个公共点，且 $\angle {F_1}P{F_2} = \dfrac{\mathrm \pi} {3}$，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2014年高考湖北卷（理）
【标注】
【答案】
A
【解析】
不妨设椭圆与双曲线都是焦点在 $x$ 轴上的标准椭圆与双曲线，$P$ 为第一象限内的公共点，并记椭圆的半长轴长、半短轴长、离心率分别为 $a_1,b_1,e_1$，双曲线的半实轴长、半虚轴长、离心率分别为 $a_2,b_2,e_2$，它们的半焦距长相等，设为 $c$．
由题意知$$\begin{cases}|PF_1|+|PF_2|=2a_1,\\|PF_1|-|PF_2|=2a_2,\end{cases}$$而题目中要求的是\[m=\dfrac {1}{e_1}+\dfrac {1}{e_2}=\dfrac {a_1}{c}+\dfrac {a_2}{c}=\dfrac {2|PF_1|}{|F_1F_2|},\]的最大值．根据正弦定理，可得$$\dfrac {a_1+a_2}{c}=\dfrac {2\sin\angle PF_2F_1}{\sin\angle F_1PF_2}=\dfrac {4}{\sqrt 3}\sin{\angle {PF_2F_1}}\leqslant \dfrac{4\sqrt 3}{3},$$当且仅当 $\angle PF_2F_1=\dfrac {\pi}{2}$ 时取到等号．
由题意知$$\begin{cases}|PF_1|+|PF_2|=2a_1,\\|PF_1|-|PF_2|=2a_2,\end{cases}$$而题目中要求的是\[m=\dfrac {1}{e_1}+\dfrac {1}{e_2}=\dfrac {a_1}{c}+\dfrac {a_2}{c}=\dfrac {2|PF_1|}{|F_1F_2|},\]的最大值．根据正弦定理，可得$$\dfrac {a_1+a_2}{c}=\dfrac {2\sin\angle PF_2F_1}{\sin\angle F_1PF_2}=\dfrac {4}{\sqrt 3}\sin{\angle {PF_2F_1}}\leqslant \dfrac{4\sqrt 3}{3},$$当且仅当 $\angle PF_2F_1=\dfrac {\pi}{2}$ 时取到等号．
题目
答案
解析
备注
