从分析变量 $a,b,c$ 的界入手．
选项A，取 $a=b$，$c=-(a^2+a)$，则$$|a^2+b+c|+|a+b^2+c|=0\leqslant 1,$$而此时由于 $a$ 可以任取，因此 $c$ 无界，显然无法得到 $a^2+b^2+c^2<100$，如取 $a=10$ 即可推出矛盾；
选项B，取 $c=0$，$b=-a^2$，则$$|a^2+b+c|+|a^2+b-c|=0\leqslant 1,$$而此时 $b$ 无界，如取 $a^2=10$ 即可推出矛盾；
选项C，与选项B类似，取 $c=0$，$b=-a$，则$$|a+b+c^2|+|a+b-c^2|=0\leqslant 1,$$而此时 $b$ 无界，如取 $a=10$ 即可推出矛盾；
至此可得正确的答案是D．下面证明选项D的正确性．
首先根据绝对值不等式，有$$1\geqslant |a^2+b+c|+|a+b^2-c|\geqslant |a^2+a+b^2+b|,$$而$$a^2+a,b^2+b\geqslant -\dfrac 14,$$因此可得$$-\dfrac 14\leqslant a^2+a,b^2+b\leqslant \dfrac 54,$$即$$\dfrac{-1-\sqrt 6}2\leqslant a,b\leqslant \dfrac{-1+\sqrt 6}2.$$为了便于计算，取 $a,b\in [-2,2]$，进而由绝对值不等式，有$$1\geqslant |a^2+b+c|+|a+b^2-c|\geqslant |a^2-a+b-b^2+2c|,$$而$$a^2-a,b^2-b\in \left[-\dfrac 14,6\right]\subseteq [-6,6],$$于是$$-13\leqslant 2c\leqslant 13,$$从而 $c\in [-7,7]$，此时必然有$$a^2+b^2+c^2\leqslant 2^2+2^2+7^2<100,$$命题得证．