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设定点 $A,B,C,D$ 是以 $O$ 点为中心的正四面体的顶点，用 $\sigma $ 表示空间以直线 $OA$ 为轴满足条件 $\sigma \left( B \right) = C$ 的旋转，用 $\tau $ 表示空间关于 $OCD$ 所在平面的镜面反射，设 $l$ 为过 $AB$ 中点与 $CD$ 中点的直线，用 $\omega $ 表示空间以 $l$ 为轴的 $180^\circ $ 旋转．设 $\sigma \circ \tau $ 表示变换的复合，先作 $\tau $，再作 $\sigma $，则 $\omega $ 可以表示为 \((\qquad)\)
A: $\sigma \circ \tau \circ \sigma \circ \tau \circ \sigma $
B: $\sigma \circ \tau \circ \sigma \circ \tau \circ \sigma \circ \tau $
C: $\tau \circ \sigma \circ \tau \circ \sigma \circ \tau $
D: $\sigma \circ \tau \circ \sigma \circ \sigma \circ \tau \circ \sigma $
【难度】
【出处】
2010年清华大学等五校合作自主选拔通用基础测试数学试题
【标注】
  • 方法
    >
    思考方式
    >
    信息迁移
  • 知识点
    >
    立体几何
    >
    空间几何体
    >
    空间几何体的形体分析
【答案】
D
【解析】
记四面体为 $\left( {A, B, C, D} \right)$，则$$\omega \left( {A, B, C, D} \right) = \left( {B, A, D, C} \right),$$即 $A, B$ 互换，$C, D$ 互换．
因为\[\begin{split}\sigma \circ \tau \circ \sigma \circ \sigma \circ \tau \circ \sigma \left( {A, B, C, D} \right)& = \sigma \circ \tau \circ \sigma \circ \sigma \circ \tau \left( {A, C, D, B} \right)\\& = \sigma \circ \tau \circ \sigma \circ \sigma \left( {B, C, D, A} \right) \\&= \sigma \circ \tau \circ \sigma \left( {C, D, B, A} \right)
\\&= \sigma \circ \tau \left( {D, B, C, A} \right) \\&= \sigma \left( {D, A, C, B} \right)\\& = \left( {B, A, D, C} \right),\end{split}\]故 $\omega $ 可以表示为 $\sigma \circ \tau \circ \sigma \circ \sigma \circ \tau \circ \sigma $，选D．
题目 答案 解析 备注
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