设 ${\mathbb {Q}}$ 是有理数集，集合 $X = \left\{ {x\mid x = a\sqrt {2b},a,b \in {\mathbb {Q}},x \ne 0} \right\}$，在下列集合：
① $\left\{ {2x\mid x \in X} \right\}$；
② $\left\{ {\dfrac{x}{{\sqrt 2 }}\mid x \in X} \right\}$；
③ $\left\{{\dfrac{1}{x}\mid x \in X} \right\}$；
④ $\left\{ {{x^2}\mid x \in X} \right\}$ 中，和 $X$ 相同的集合有 \((\qquad)\) 个．
① $\left\{ {2x\mid x \in X} \right\}$；
② $\left\{ {\dfrac{x}{{\sqrt 2 }}\mid x \in X} \right\}$；
③ $\left\{{\dfrac{1}{x}\mid x \in X} \right\}$；
④ $\left\{ {{x^2}\mid x \in X} \right\}$ 中，和 $X$ 相同的集合有 \((\qquad)\) 个．
【难度】
【出处】
2009年复旦大学自主招生资格选拔测试
【标注】
【答案】
B
【解析】
① 即 $\left\{ {x\mid x = 2a\sqrt {2b},a,b \in {\mathbb {Q}},x \ne 0} \right\} $ $ = X $；
② 即 $ \left\{ {x\mid x = a\sqrt b,a,b \in {\mathbb {Q}},x \ne 0} \right\}$ $ = X $；
③ 即 $ \left\{ {x\mid x = \dfrac{1}{{2ab}} \cdot \sqrt {2b},a,b \in {\mathbb {Q}},x \ne 0} \right\} $ $ = X $；
④ 即 $ \left\{ {x\mid x = 2{a^2}b,a,b \in {\mathbb {Q}},x \ne 0} \right\}$ $ \ne X$．
② 即 $ \left\{ {x\mid x = a\sqrt b,a,b \in {\mathbb {Q}},x \ne 0} \right\}$ $ = X $；
③ 即 $ \left\{ {x\mid x = \dfrac{1}{{2ab}} \cdot \sqrt {2b},a,b \in {\mathbb {Q}},x \ne 0} \right\} $ $ = X $；
④ 即 $ \left\{ {x\mid x = 2{a^2}b,a,b \in {\mathbb {Q}},x \ne 0} \right\}$ $ \ne X$．
题目
答案
解析
备注
