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设 $x,y,z > 0 $，满足 $ xyz + y + z = 12 $，则 $ {\log _4}x + {\log _2}y + {\log _2}z$ 的最大值是 \((\qquad)\)
A: $3$
B: $4$
C: $5$
D: $6$
【难度】
【出处】
2009年复旦大学自主招生资格选拔测试
【标注】
  • 知识点
    >
    不等式
    >
    常用不等式
    >
    均值不等式
  • 知识点
    >
    函数
    >
    常见初等函数
    >
    对数函数
    >
    对数及其运算
【答案】
A
【解析】
因为\[\begin{split}{\log _4}x + {\log _2}y + {\log _2}z &= {\log _4}\left( {x{y^2}{z^2}} \right)\\ & = {\log _4}\left( {xyz \cdot y \cdot z} \right) \\ &\leqslant {\log _4}{\left( {\dfrac{{xyz + y + z}}{3}} \right)^3} = 3.\end{split}\]等号当 $x=\dfrac 14$，$y=z=4$ 时取得．所以 ${\log _4}x + {\log _2}y + {\log _2}z$ 的最大值是 $3$．
题目 答案 解析 备注
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