四棱锥 $P-ABCD$ 的底面 $ABCD$ 是顶角为 $60^\circ $ 的菱形，侧面与底面的夹角都为 $60^\circ $，棱锥内有一点到底面及各侧面的距离皆为 $1$，则棱锥的体积为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2008年全国高中数学联赛山西省预赛
【标注】
【答案】
C
【解析】
易知平面 $PBD$ 垂直于平面 $ABCD$，且将四棱锥分成两个等体积的四面体，若点 $G$ 到底面及各侧面的距离皆为 $1$，则 $G$ 在等腰三角形 $PBD$ 的中垂线 $PH$ 上．设 $G$ 在面 $PAD$ 上的投影为 $E$，平面 $GEH$ 过顶点 $P$，且交 $AD$ 于点 $F$，则 $G,E,F,H$ 共圆，$\angle EFH=60^\circ ,\angle EGH=120^\circ $，从而$$EH=EF=FH=\sqrt 3,$$由此，正三角形 $ABD$ 的高 $AH=2\sqrt 3$，所以 $AB=4,S_{\triangle ABD}=4\sqrt 3,PH=HF\tan 60^\circ =3$，则$$V_{P-ABD}=\dfrac 13PH\cdot S_{\triangle ABD}=4\sqrt 3,$$因此 $V_{P-ABCD}=8\sqrt 3$．故选C．
题目
答案
解析
备注
