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已知关于 $x$ 的方程 $\sqrt 3 \sin x + 2{\cos ^2}\dfrac{x}{2} = a$ 在区间 $\left( {0,2{\mathrm{\pi }}} \right)$ 内有两个不同的根，则常数 $a$ 的取值范围是 \((\qquad)\)
A: $\left( { - 1,3} \right)$
B: $\left( { - 1,2} \right) \cup \left( {2,3} \right)$
C: $\left[ { - 1,3} \right]$
D: $\left[ { - 1,2} \right) \cup \left( {2,3} \right]$
【难度】
【出处】
2009年复旦大学自主招生资格选拔测试
【标注】
  • 知识点
    >
    函数
    >
    常见初等函数
    >
    三角函数
  • 知识点
    >
    函数
    >
    函数的图象与性质
    >
    函数的零点
【答案】
B
【解析】
题中方程即\[\sin \left( {x + \dfrac{{\mathrm{\pi }}}{6}} \right) = \dfrac{{a - 1}}{2},\]该方程在 $\left( {0,2{\mathrm{\pi }}} \right)$ 内有两个不同根，需要$$ - 1 < \dfrac{{a - 1}}{2} < 1,\land \dfrac{{a - 1}}{2} \ne \dfrac{1}{2},$$解得 $ - 1 < a < 3$ 且 $a \ne 2$．
题目 答案 解析 备注
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