设数列 $\left\{ {{a_n}} \right\}$，$\left\{ {{b_n}} \right\}$ 满足 ${b_n} = {a_n} - {a_{n - 1}}$，$n = 1,2,3,\cdots $，如果 ${a_0} = 0$，${a_1} = 1$，且 $\left\{ {{b_n}} \right\}$ 是公比为 $2$ 的等比数列，又设 ${S_n} = {a_1} + {a_2} + \cdots + {a_n}$，则 $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \dfrac{{{S_n}}}{{{a_n}}} = $ \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2009年复旦大学自主招生资格选拔测试
【标注】
【答案】
D
【解析】
因为$${a_n} = {a_0} + \sum {{b_n}} = {b_1} \cdot {2^n} - {b_1},$$所以$${S_n} = 2{b_1} \cdot {2^n} - 2{b_1} - n{b_1},$$于是$$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \dfrac{{{S_n}}}{{{a_n}}} = 2.$$
题目
答案
解析
备注
