设向量 $\overrightarrow x = \left( {\cos \theta \cos \varphi,\cos \theta \sin \varphi,\sin \theta } \right)$，$\overrightarrow y = \left( {\dfrac{1}{{\sqrt 3 }}\cos \theta \cos \varphi,\dfrac{1}{{\sqrt 3 }}\cos \theta \sin \varphi,\sqrt 3 \sin \theta } \right)$，其中 $0 \leqslant \theta \leqslant \dfrac{{\mathrm{\pi }}}{2}$，如果 $\left| \overrightarrow x \right| = \left| \overrightarrow y \right|$，则向量 $\overrightarrow x$ 和 $\overrightarrow y$ 的夹角的最大值是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2009年复旦大学自主招生资格选拔测试
【标注】
【答案】
D
【解析】
显然 $\left|\overrightarrow x \right| = 1$．而\[{\left|\overrightarrow y \right|^2} = \dfrac{1}{3}{\cos ^2}\theta {\cos ^2}\varphi + \dfrac{1}{3}{\cos ^2}\theta {\sin ^2}\varphi + 3{\sin ^2}\theta = \dfrac{1}{3}{\cos ^2}\theta + 3{\sin ^2}\theta = {\left|\overrightarrow x \right|^2} = 1.\]所以 ${\sin ^2}\theta = \dfrac{1}{4}$．于是\[\begin{split}\cos \langle \overrightarrow x,\overrightarrow y \rangle &= \dfrac{{\overrightarrow x \cdot \overrightarrow y}}{{\left| \overrightarrow x \right| \cdot \left|\overrightarrow y \right|}} \\&= \dfrac{{\dfrac{1}{{\sqrt 3 }}{{\cos }^2}\theta {{\cos }^2}\varphi + \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}{{\cos }^2}\theta {{\sin }^2}\varphi + \sqrt 3 {{\sin }^2}\theta }}{{1 \cdot 1}}\\& = \dfrac{{{{\cos }^2}\theta + 3{{\sin }^2}\theta }}{{\sqrt 3 }} = \dfrac{{1 + 2{{\sin }^2}\theta }}{{\sqrt 3 }} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}.\end{split}\]因此 $\overrightarrow x$ 和 $\overrightarrow y$ 的夹角为 $\dfrac{{\mathrm{\pi }}}{6}$．
题目
答案
解析
备注
