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在 ${\left( {1 + x} \right)^{2n}} + x{\left( {1 + x} \right)^{2n - 1}} + \cdots + {x^n}{\left( {1 + x} \right)^n}$ 的展开式中，${x^n}$ 的系数为 \((\qquad)\)
A: $\dfrac{{\left( {2n + 1} \right)!}}{{n!\left( {n + 1} \right)!}}$
B: $\dfrac{{\left( {2n + 1} \right)!}}{{n!n!}}$
C: $\dfrac{{\left( {2n + 2} \right)!}}{{n!n!}}$
D: $\dfrac{{\left( {2n + 2} \right)!}}{{n!\left( {n + 1} \right)!}}$
【难度】
【出处】
2009年华南理工大学自主招生保送生选拔考试
【标注】
  • 知识点
    >
    计数与概率
    >
    计数中的常用知识
    >
    二项式定理
  • 知识点
    >
    数列
    >
    等比数列及其性质
    >
    等比数列的前n项和
【答案】
A
【解析】
公比为 $\dfrac{x}{{1 + x}}$，所以$$S = \dfrac{{{{\left( {1 + x} \right)}^{2n}} - {x^n}{{\left( {1 + x} \right)}^n} \cdot \dfrac{x}{{1 + x}}}}{{1 - \dfrac{x}{{1 + x}}}} = {\left( {1 + x} \right)^{2n + 1}} - {x^{n + 1}}{\left( {1 + x} \right)^n}.$$所以 ${x^n}$ 的系数为 ${{\rm C}}_{2n + 1}^n$．
题目 答案 解析 备注
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