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已知圆 $O$：${x^2} + {y^2} = {r^2}$，点 $P\left(a,b\right)$，$ab \ne 0$ 是圆 $O$ 内一点．过点 $P$ 的圆 $O$ 的最短的弦在直线 ${l_1}$ 上，直线 ${l_2}$ 的方程为 $bx - ay = {r^2}$，那么 \((\qquad)\)
A: ${l_1}\parallel {l_2}$，且 ${l_2}$ 与圆 $O$ 相交
B: ${l_1} \perp {l_2}$，且 ${l_2}$ 与圆 $O$ 相切
C: ${l_1}\parallel {l_2}$，且 ${l_2}$ 与圆 $O$ 相离
D: ${l_1} \perp {l_2}$，且 ${l_2}$ 与圆 $O$ 相离
【难度】
【出处】
2009年华南理工大学自主招生保送生选拔考试
【标注】
  • 知识点
    >
    解析几何
    >
    直线与圆
    >
    直线与圆的位置关系
【答案】
D
【解析】
直线 $l_1$ 的法向量为 $(a,b)$，直线 $l_2$ 的法向量为 $(b,-a)$，所以 $l_1\perp l_2$，又圆心到 $l_2$ 的距离$$d=\dfrac{r^2}{\sqrt{a^2+b^2}}>r,$$所以 $l_2$ 与圆 $O$ 相离．
题目 答案 解析 备注
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