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在 $\triangle ABC$ 中，向量 $\overrightarrow a = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} $，$\overrightarrow b = 3\overrightarrow {AB} + 8\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BC} $，$\overrightarrow c = 4\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {BA} $，则下列结论一定结论成立的是 \((\qquad)\)
A: 向量 $\overrightarrow a + \overrightarrow c $ 一定与向量 $\overrightarrow b $ 平行
B: 向量 $\overrightarrow b + \overrightarrow c $ 一定与向量 $\overrightarrow a $ 平行
C: 向量 $\overrightarrow a + \overrightarrow b $ 一定与向量 $\overrightarrow c $ 平行
D: 向量 $\overrightarrow a - \overrightarrow b $ 一定与向量 $\overrightarrow c $ 平行
【难度】
【出处】
2009年华南理工大学自主招生保送生选拔考试
【标注】
  • 知识点
    >
    向量
    >
    向量的线性表示
【答案】
B
【解析】
选 $\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} $ 为基底，则\[\begin{split}\overrightarrow a &= \left( 1 ,1\right),\\
\overrightarrow b &= 3\overrightarrow {AB} + 8\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} = 2\overrightarrow {AB} + 9\overrightarrow {AC} = \left({2,9} \right),\\
\overrightarrow c
&= 4\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {BA} = 4\left({\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} } \right)- \overrightarrow {AB} = 3\overrightarrow {AB} - 4\overrightarrow {AC} = \left({3,- 4} \right),\end{split}\]容易发现 $ \overrightarrow b + \overrightarrow c = 5\overrightarrow a $．
题目 答案 解析 备注
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