已知 $c$ 是椭圆 $\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$（$a > b > 0$）的半焦距，则 $\dfrac{{2b + c}}{{2a}}$ 的取值范围是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2009年华南理工大学自主招生保送生选拔考试
【标注】
【答案】
D
【解析】
根据题意，有\[\dfrac{{2b + c}}{{2a}} = \dfrac{{2b + c}}{{2\sqrt {{b^2} + {c^2}} }} \leqslant \dfrac{{\sqrt {\left( {{2^2} + {1^2}} \right)\left( {{b^2} + {c^2}} \right)} }}{{2\sqrt {{b^2} + {c^2}} }} = \dfrac{{\sqrt 5 }}{2},\]仅当 $\dfrac{b}{2} = \dfrac{c}{1}$ 时取等号；
又$$\dfrac{{2b + c}}{{2\sqrt {{b^2} + {c^2}} }} > \dfrac{{\sqrt {{b^2} + {c^2}} }}{{2\sqrt {{b^2} + {c^2}} }} = \dfrac{1}{2},$$当 $b \to 0$ 时，$$\dfrac{{2b + c}}{{2\sqrt {{b^2} + {c^2}} }} \to \dfrac{1}{2}.$$
又$$\dfrac{{2b + c}}{{2\sqrt {{b^2} + {c^2}} }} > \dfrac{{\sqrt {{b^2} + {c^2}} }}{{2\sqrt {{b^2} + {c^2}} }} = \dfrac{1}{2},$$当 $b \to 0$ 时，$$\dfrac{{2b + c}}{{2\sqrt {{b^2} + {c^2}} }} \to \dfrac{1}{2}.$$
题目
答案
解析
备注
