已知公差为 $d$ 的等差数列 $\{a_n\}$ 满足：$d>0$，且 $a_2$ 是 $a_1$，$a_4$ 的等比中项；记 $b_n=a_{2^n}(n \in \mathbb N^*)$，对任何正整数 $n$，都有 $ \dfrac{1}{b_1} +\dfrac{1}{b_2} +\cdots +\dfrac{1}{b_n}<2$ 成立，则公差 $d$ 的取值范围是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2014年全国高中数学联赛四川省预赛
【标注】
【答案】
A
【解析】
由条件知$$a_2^2=a_1a_4,$$即$$(a_1+d)^2=a_1(a_1+3d),$$故 $a_1=d$，于是$$a_n=nd,$$从而$$b_n=a_{2^n}=d\cdot 2^n,$$所以$$\dfrac 1d\left[\dfrac 12+\left(\dfrac 12\right)^2+\cdots +\left(\dfrac 12\right)^n\right]<2,$$即$$d>\dfrac 12\left[1-\left(\dfrac 12\right)^n\right]$$对任意正整数 $n$ 均成立，所以 $d \geqslant \dfrac 12$．
题目
答案
解析
备注
