已知 $a$、$b$ 为正实数，记 $P=\sqrt {\dfrac {a^2+b^2}{2}}-\dfrac {a+b}{2} $，$Q=\dfrac {a+b}{2}-\sqrt{ab} $，$R=\sqrt {ab}-\dfrac {2ab}{a+b}$，则下列判断正确的是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2014年全国高中数学联赛四川省预赛
【标注】
【答案】
B
【解析】
要证 $ P\leqslant Q$，只需证$$\sqrt {\dfrac {a^2+b^2}{2}}+\sqrt {ab} \leqslant a+b,$$即证$$2\sqrt {\dfrac {a^2+b^2}{2}\cdot ab} \leqslant \dfrac {a^2+b^2}{2} +ab,$$该不等式即基本不等式，显然成立．
要证 $ P\geqslant R$，只需证$$\dfrac {a^2+b^2}{2} +ab- \sqrt { 2ab(a^2+b^2)} \geqslant \dfrac {(a+b)^2}{4}-\dfrac {2ab(a^2+b^2)}{(a+b)^2},$$即证$$\dfrac {(a+b)^2}{4}+\dfrac {2ab(a^2+b^2)}{(a+b)^2} \geqslant \sqrt { 2ab(a^2+b^2)},$$该不等式显然成立．
要证 $ P\geqslant R$，只需证$$\dfrac {a^2+b^2}{2} +ab- \sqrt { 2ab(a^2+b^2)} \geqslant \dfrac {(a+b)^2}{4}-\dfrac {2ab(a^2+b^2)}{(a+b)^2},$$即证$$\dfrac {(a+b)^2}{4}+\dfrac {2ab(a^2+b^2)}{(a+b)^2} \geqslant \sqrt { 2ab(a^2+b^2)},$$该不等式显然成立．
题目
答案
解析
备注
