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已知抛物线 $x^2=2py(p>0)$，过点 $M\left(0,-\dfrac p2\right)$ 向抛物线引两条切线，$A,B$ 为切点，则线段 $AB$ 的长度是 \((\qquad)\)
A: $3p$
B: $\dfrac 52p$
C: $2p$
D: $\dfrac 32p$
【难度】
【出处】
2008年全国高中数学联赛辽宁省预赛
【标注】
  • 数学竞赛
    >
    解析几何
    >
    韦达暴算
【答案】
C
【解析】
切线方程为 $y=kx-\dfrac p2$，代入抛物线方程得$$\dfrac {x^2}{2p}=kx-\dfrac p2,$$即$$x^2-2pkx+p^2=0$$有一个实根，故 $4p^2k^2-4p^2=0$，解得 $k=\pm 1,x=\pm p$，所以 $AB$ 的长度为 $2p$．故选C．
题目 答案 解析 备注
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