设椭圆与 $x$ 轴交于 $A,B$ 两点，已知对于椭圆上不同于 $A,B$ 的任意一点 $P$，直线 $AP$ 与 $BP$ 的斜率之积均为 $-\dfrac12$，则椭圆的离心率为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2012年全国高中数学联赛天津市预赛
【标注】
【答案】
D
【解析】
不妨设 $A(1,0)$，$B(-1,0)$，$P(x,y)$，则直线 $AP$ 的斜率为 $\dfrac{y}{x-1}$，直线 $BP$ 的斜率为 $\dfrac{y}{x+1}$．
依题意得$$\dfrac{y}{x-1}\cdot\dfrac{y}{x+1}=-\dfrac12,$$由此得到椭圆方程为$$x^2+2y^2=1,$$进而可得离心率为 $\dfrac{1}{\sqrt2}$．
依题意得$$\dfrac{y}{x-1}\cdot\dfrac{y}{x+1}=-\dfrac12,$$由此得到椭圆方程为$$x^2+2y^2=1,$$进而可得离心率为 $\dfrac{1}{\sqrt2}$．
题目
答案
解析
备注
