如果函数 $f(x)=a^x(a^x-3a^2-1)$（$a>0\land a\ne 1$）在区间 $[0,+\infty)$ 上是增函数，那么实数 $a$ 的取值范围是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2009年全国高中数学联赛河北省预赛
【标注】
【答案】
B
【解析】
令 $a^x=t$，则$$y=g(t)=t^2-(3a^2+1)t.$$情形一 当 $a>1$ 时，$t$ 是关于 $x$ 的增函数．欲使 $f(x)$ 在 $x\in[0,+\infty)$ 上是增函数，需 $g(t)$ 在 $t\in[1,+\infty)$ 上是增函数，故$$\dfrac{3a^2+1}{2}\leqslant 1,$$即 $a^2\leqslant \dfrac 13$，矛盾．
情形二 当 $0<a<1$ 时，$t$ 是关于 $x$ 的减函数，欲使 $f(x)$ 在 $x\in[0,+\infty)$ 上是增函数，需 $g(t)$ 在 $t\in(0,1]$ 上是减函数，故$$\dfrac{3a^2+1}{2}\geqslant 1,$$即 $a^2\geqslant \dfrac 13$，所以 $\dfrac {\sqrt 3}{3}\leqslant a<1$．
综上，$a\in\left[\dfrac{\sqrt 3}{3},1\right)$．
综上，$a\in\left[\dfrac{\sqrt 3}{3},1\right)$．
题目
答案
解析
备注
