已知 $x,y,z\in (0,1)$ 且 $x+y+z=2$，则 $xy+yz+zx$ 的取值范围是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2009年全国高中数学联赛河北省预赛
【标注】
【答案】
B
【解析】
设 $S=xy+yz+zx$，则$$(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2S.$$由于 $x,y,z\in(0,1)$，所以 $S<3$．因为$$x^2+y^2+z^2<x+y+z=2,$$即$$4<2+2S,$$所以 $S>1$．
又$$S^2\leqslant (x^2+y^2+z^2)^2=(4-2S)^2,$$即$$(3S-4)(S-4)\geqslant 0,$$解得$$S\leqslant \dfrac 43 \lor S\geqslant 4.$$但 $S<3$，所以 $S\leqslant \dfrac 43$，且当 $x=y=z=\dfrac 23$ 时，$S=\dfrac 43$．
综上可得 $1<S\leqslant \dfrac 43$．
又$$S^2\leqslant (x^2+y^2+z^2)^2=(4-2S)^2,$$即$$(3S-4)(S-4)\geqslant 0,$$解得$$S\leqslant \dfrac 43 \lor S\geqslant 4.$$但 $S<3$，所以 $S\leqslant \dfrac 43$，且当 $x=y=z=\dfrac 23$ 时，$S=\dfrac 43$．
综上可得 $1<S\leqslant \dfrac 43$．
题目
答案
解析
备注
