已知 $A,B,C$ 是平面上不共线的三点，$O$ 是三角形 $ABC$ 的重心，动点 $P$ 满足 $\overrightarrow {OP}=\dfrac 13\cdot \left(\dfrac 12\overrightarrow {OA}+\dfrac 12\overrightarrow {OB}+2\overrightarrow {OC}\right)$，则点 $P$ 一定为三角形 $ABC$ 的 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2008年全国高中数学联赛吉林省预赛
【标注】
【答案】
B
【解析】
因为 $O$ 为 $\triangle ABC$ 的重心，所以 $\overrightarrow {OA}+\overrightarrow {OB}+\overrightarrow {OC}=\vec 0$，因此\[\begin{split}\overrightarrow {OP}&=\dfrac 13\cdot \left(\dfrac 12\overrightarrow {OA}+\dfrac 12\overrightarrow {OB}+2\overrightarrow {OC}\right)\\&=\dfrac 16\cdot(\overrightarrow {OA}+\overrightarrow {OB}+4\overrightarrow {OC})\\&=\dfrac 16\cdot (-\overrightarrow {OC}+\overrightarrow {4OC})\\&=\dfrac 12\overrightarrow {OC}. \end{split}\]如图所示，$P$ 在 $AB$ 中线 $CF$ 的三等分点（非重心）处．故选B．
题目
答案
解析
备注
