方程 $\dfrac{x^2}{\sin(19^n)^{\circ}}+\dfrac{y^2}{\cos(19^{n})^{\circ}}=1$($n\in \mathbb N^*$)所表示的曲线为 \((\qquad)\)
A: 焦点在 $x$ 轴上的双曲线
B: 双曲线,其焦点所在的轴与 $n$ 有关
C: 焦点在 $y$ 轴上的椭圆
D: 椭圆,其焦点所在的轴与 $n$ 有关
【难度】
【出处】
2009年全国高中数学联赛河北省预赛
【标注】
【答案】
C
【解析】
情形一 当 $n=1$ 时,$$\sin{19^{\circ}}<\cos {19^{\circ}}.$$情形二 当 $n=2$ 时,$$\sin(19^2)^{\circ}=\sin{361^{\circ}}=\sin 1^{\circ}<\cos 1^{\circ}.$$情形三 当 $n=2k$($k\in \mathbb N^*$)时,$$\sin(19^{2k})^{\circ}=\sin(361^k)^{\circ}=\sin 1^{\circ}<\cos 1^{\circ}.$$情形四 当 $n=2k+1$($k\in \mathbb N^*$)时,$$\sin(19^{2k+1})^{\circ}=\sin[19\cdot (361)^k]^{\circ}=\sin{19}^{\circ}<\cos{19}^{\circ}.$$因此方程表示焦点在 $y$ 轴上的椭圆.
题目 答案 解析 备注
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