设复数 $x=\dfrac {1+\mathrm i}{1-\mathrm i}$（$\mathrm i$ 是虚数单位），则 ${\mathrm C}_{2014}^{0}+{\mathrm C}_{2014}^{1}x+{\mathrm C}_{2014}^{2}x^2+\cdots +{\mathrm C}_{2014}^{2014}x^{2014}= $ \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2014年全国高中数学联赛黑龙江省预赛
【标注】
【答案】
B
【解析】
由二项式定理知，$${\mathrm C}_{2014}^{0}+{\mathrm C}_{2014}^{1}x+{\mathrm C}_{2014}^{2}x^2+\cdots +{\mathrm C}_{2014}^{2014}x^{2014}=(1+x)^{2014}.$$因为$$1+x=1+\dfrac {1+\rm i}{1-\rm i}=\dfrac {2}{1-\rm i}=1+\rm i,$$所以$$\begin{split}(1+x)^{2014}&=\left[\sqrt 2\left(\cos \dfrac {\pi}{4}+{\rm i}\cdot \sin \dfrac {\pi}{4}\right)\right]^{2014}\\ &=2^{1007}\left(\cos \dfrac {1007\pi}{2}+\rm i\cdot \sin \dfrac {1007\pi}{2}\right)\\ &=-2^{1007}\rm i.\end{split}$$
题目
答案
解析
备注
