已知在三棱锥 $S-ABC$ 内任取一点 $P$，使得 $V_{P-ABC}<\dfrac 12V_{S-ABC}$ 的概率是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2014年全国高中数学联赛黑龙江省预赛
【标注】
【答案】
A
【解析】
设 $\triangle ABC$ 的面积为 $S$，点 $P$ 到底面 $ABC$ 的距离为 $h$，点 $S$ 到底面 $ABC$ 的距离为 $d$．
因为$$V_{P-ABC}=\dfrac 13\cdot S\cdot h,$$而$$V_{P-ABC}=\dfrac 13\cdot S\cdot d,$$所以为满足 $V_{P-ABC}<\dfrac 12V_{S-ABC}$，只需令$$h<\dfrac 12d.$$因此 $P$ 点可以运动的范围为三棱锥 $S-ABC$ 截去一个相似比为 $\dfrac 12$ 的小棱锥后的棱台．
因此所求概率为$$1-\dfrac {(\frac 12)^3}{1}=\dfrac 78.$$
因为$$V_{P-ABC}=\dfrac 13\cdot S\cdot h,$$而$$V_{P-ABC}=\dfrac 13\cdot S\cdot d,$$所以为满足 $V_{P-ABC}<\dfrac 12V_{S-ABC}$，只需令$$h<\dfrac 12d.$$因此 $P$ 点可以运动的范围为三棱锥 $S-ABC$ 截去一个相似比为 $\dfrac 12$ 的小棱锥后的棱台．
因此所求概率为$$1-\dfrac {(\frac 12)^3}{1}=\dfrac 78.$$
题目
答案
解析
备注
