已知 $\vec a=(\cos \alpha,\sin \alpha),\vec b=(\cos \beta,\sin \beta),|\vec a-\vec b|=\dfrac {2\sqrt 5}{5}.$ 若 $0<\alpha <\dfrac {\pi}{2},-\dfrac {\pi}{2}<\beta <0$，且 $\sin \beta=-\dfrac {5}{13}$，则 $\sin \alpha =$ \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2008年全国高中数学联赛山东省预赛
【标注】
【答案】
C
【解析】
由题意知\[\begin{split}|\vec a-\vec b|^2&=(\cos \alpha -\cos \beta )^2+(\sin \alpha -\sin \beta )^2 \\&=2-2(\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta )\\&=2-2\cos (\alpha -\beta ), \end{split}\]则 $2-2\cos (\alpha -\beta )=\dfrac 45,\cos (\alpha -\beta )=\dfrac 35$．由 $\alpha =(\alpha -\beta )+\beta $，且 $0<\alpha <\dfrac {\pi}{2},-\dfrac {\pi}{2}<\beta <0$ 及 $\sin \beta =-\dfrac 5{13},\cos (\alpha -\beta )=\dfrac 35$，知 $\cos \beta =\dfrac {12}{13},\sin (\alpha -\beta )=\dfrac 45$，从而得\[\begin{split}\sin \alpha &=\sin [\beta +(\alpha -\beta )]\\&=\sin \beta\cos (\alpha -\beta )+\cos \beta \sin (\alpha -\beta )\\&=-\dfrac 5{13}\times \dfrac 35+\dfrac {12}{13}\times \dfrac 45\\&=\dfrac {33}{65}. \end{split}\]故选C．
题目
答案
解析
备注
