设 $a_n$ 是 $(\sqrt x +3)^n(n \geqslant 2, n \in \mathbb N)$ 的展开式中 $x$ 的一次项的系数，则 $\dfrac {2009}{2008}\left(\dfrac {3^2}{a_2}+\dfrac {3^3}{a_3}+\cdots +\dfrac {3^{2009}}{a_{2009}}\right)$ 的值为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2014年全国高中数学联赛黑龙江省预赛
【标注】
【答案】
A
【解析】
由题意得$$a_n=\rm C_n^2\cdot 3^{n-2},$$所以$$\dfrac {3^n}{a_n}=\dfrac {9}{\rm C_n^2}=\dfrac {18}{n(n-1)}=18\left(\dfrac {1}{n-1}-\dfrac {1}{n}\right),$$故$$\begin{split}\dfrac {2009}{2008}\left(\dfrac {3^2}{a_2}+\dfrac {3^3}{a_3}+\cdots +\dfrac {3^{2009}}{a_{2009}}\right)&=\dfrac {2009}{2008}\cdot 18\cdot (1-\dfrac 12+\dfrac 12-\dfrac 13+\cdots+\dfrac 1{2008}-\dfrac {1}{2009})\\ &=18\cdot \dfrac {2009}{2008}\cdot \left(1-\dfrac {1}{2009}\right)=18.\end{split}$$
题目
答案
解析
备注
