已知直线 $x+y-k=0$（$k>0$）与圆 $x^2+y^2=4$ 交于不同的两点 $A$，$B$，$O$ 是坐标原点，且有 $\left|\overrightarrow {OA}+\overrightarrow {OB}\right|\geqslant \dfrac {\sqrt 3}{3}\left| \overrightarrow {AB}\right|$，那么 $k$ 的取值范围是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2014年全国高中数学联赛黑龙江省预赛
【标注】
【答案】
C
【解析】
因为当 $k=2\sqrt 2$ 时，直线与圆相切，仅一交点，所以$$0<k<2\sqrt 2.$$易知当 $k$ 减小时（$0<k<2\sqrt 2$），$\left|\overrightarrow {OA}+\overrightarrow {OB}\right|$ 减小，而 $\left| \overrightarrow {AB}\right|$ 增大，所以若$$\left|\overrightarrow {OA}+\overrightarrow {OB}\right|= \dfrac {\sqrt 3}{3}\left| \overrightarrow {AB}\right|,$$则 $\angle AOB=120^\circ$，此时 $k=\sqrt 2$．
因此，$k$ 的取值范围是 $[\sqrt 2,2\sqrt 2)$．
因此，$k$ 的取值范围是 $[\sqrt 2,2\sqrt 2)$．
题目
答案
解析
备注
