如图，在直角梯形 $ABCD$ 中，$AB \perp AD$，$AD=DC=1$，$AB=3$，动点 $P$ 在以 $C$ 为圆心且与直线 $BD$ 相切的圆内运动，$\overrightarrow {AP}=\alpha \overrightarrow {AD}+\beta \overrightarrow {AB}$（$\alpha,\beta \in \mathbb R$），则 $\alpha+\beta $ 的取值范围是 \((\qquad)\) 
【难度】
【出处】
2014年全国高中数学联赛黑龙江省预赛
【标注】
【答案】
D
【解析】
以点 $A$ 为坐标原点建立直角坐标系，则 $B(3,0)$，$D(0,1)$．
设点 $P$ 的坐标为 $(x,y)$，则$$(x-1)^2+(y-1)^2<\dfrac 1{10}.$$易知$$\alpha+\beta=x+\dfrac 13y,$$所以设 $x+\dfrac 13y=z$，其可行域为该直线与圆相交，即点 $P$ 到直线的距离$$d=\dfrac {\left|\dfrac 43-z\right|}{\sqrt {10}}<\dfrac 1{\sqrt {10}},$$解得 $z=\alpha+\beta\in \left(1,\dfrac 53\right)$．
设点 $P$ 的坐标为 $(x,y)$，则$$(x-1)^2+(y-1)^2<\dfrac 1{10}.$$易知$$\alpha+\beta=x+\dfrac 13y,$$所以设 $x+\dfrac 13y=z$，其可行域为该直线与圆相交，即点 $P$ 到直线的距离$$d=\dfrac {\left|\dfrac 43-z\right|}{\sqrt {10}}<\dfrac 1{\sqrt {10}},$$解得 $z=\alpha+\beta\in \left(1,\dfrac 53\right)$．
题目
答案
解析
备注
