设 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，则方程 $3x^2-10[x]+3=0$ 的所有实数根的个数为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2014年浙江省高中数学竞赛
【标注】
【答案】
D
【解析】
因为$$3x^2-10[x]+3=0,$$所以$$10(x-1)<10[x]=3x^2+3 \leqslant 10x,$$解得 $\dfrac 13 \leqslant x \leqslant 3$．
当 $\dfrac 13 \leqslant x <1$ 时，方程 $3x^2-10[x]+3=0$ 无解；
当 $1\leqslant x <2$ 时，方程 $3x^2-10[x]+3=0$ 的解为 $x=\sqrt {\dfrac 73}$；
当 $2 \leqslant x <3$ 时，方程 $3x^2-10[x]+3=0$ 的解为 $x=\sqrt {\dfrac {17}{3}}$；
当 $x=3$ 时，满足方程 $3x^2-10[x]+3=0$．
当 $\dfrac 13 \leqslant x <1$ 时，方程 $3x^2-10[x]+3=0$ 无解；
当 $1\leqslant x <2$ 时，方程 $3x^2-10[x]+3=0$ 的解为 $x=\sqrt {\dfrac 73}$；
当 $2 \leqslant x <3$ 时，方程 $3x^2-10[x]+3=0$ 的解为 $x=\sqrt {\dfrac {17}{3}}$；
当 $x=3$ 时，满足方程 $3x^2-10[x]+3=0$．
题目
答案
解析
备注
