设条件 $p:$ 实数 $m$，$n$ 满足 $\begin{cases}2<m+n<4,\\ 0<mn<3.\end{cases}$ 条件 $q:$ 实数 $m$，$n$ 满足 $\begin{cases}0<m<1,\\ 2<n<3.\end{cases}$ 则 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2014年湖南省高中数学竞赛
【标注】
【答案】
B
【解析】
先证 $p$ 是 $q$ 的必要条件．
因为$$q: \begin{cases}0<m<1,\\ 2<n<3,\end{cases}$$所以$$\begin{cases}2<m+n<4,\\ 0<mn<3,\end{cases}$$即 $p$ 成立，则 $p$ 是 $q$ 的必要条件．
再证明 $p$ 不是 $q$ 的充分条件．
注意到当 $m=1$，$n=2$ 时，满足$$ p: \begin{cases}2<m+n<4,\\ 0<mn<3,\end{cases}$$而不满足$$q: \begin{cases}0<m<1,\\ 2<n<3,\end{cases}$$故 $p$ 不是 $q$ 的充分条件．
因此 $p$ 是 $q$ 的必要不充分条件．
因为$$q: \begin{cases}0<m<1,\\ 2<n<3,\end{cases}$$所以$$\begin{cases}2<m+n<4,\\ 0<mn<3,\end{cases}$$即 $p$ 成立，则 $p$ 是 $q$ 的必要条件．
再证明 $p$ 不是 $q$ 的充分条件．
注意到当 $m=1$，$n=2$ 时，满足$$ p: \begin{cases}2<m+n<4,\\ 0<mn<3,\end{cases}$$而不满足$$q: \begin{cases}0<m<1,\\ 2<n<3,\end{cases}$$故 $p$ 不是 $q$ 的充分条件．
因此 $p$ 是 $q$ 的必要不充分条件．
题目
答案
解析
备注
