单位圆的内接五边形的所有边及所有对角线的长度的平方和的最大值为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2017年北京大学博雅计划数学试题
【标注】
【答案】
C
【解析】
设单位圆圆心为 $O$，其内接五边形为 $A_1A_2A_3A_4A_5$，则所求平方和为\[\begin{split}\sum_{1\leqslant i<j\leqslant 5}\overrightarrow{A_iA_j}^2&=\sum_{1\leqslant i<j\leqslant 5}\left(\overrightarrow{OA_i}-\overrightarrow{OA_j}\right)^2\\
&=\sum_{1\leqslant i<j\leqslant 5}\left(2-2\overrightarrow{OA_i}\cdot\overrightarrow{OA_j}\right)\\
&=20-2\sum_{1\leqslant i<j\leqslant 5}\overrightarrow{OA_i}\cdot \overrightarrow{OA_j}\\
&=20-\left[\left(\sum_{i=1}^5\overrightarrow{OA_i}\right)^2-\sum_{i=1}^5\overrightarrow{OA_i}^2\right]\\
&=25-\left(\sum_{i=1}^5\overrightarrow{OA_i}\right)^2\\
&\leqslant 25,\end{split}\]当 $A_1A_2A_3A_4A_5$ 为正五边形时等号成立．因此所求平方和的最小值为 $25$．
&=\sum_{1\leqslant i<j\leqslant 5}\left(2-2\overrightarrow{OA_i}\cdot\overrightarrow{OA_j}\right)\\
&=20-2\sum_{1\leqslant i<j\leqslant 5}\overrightarrow{OA_i}\cdot \overrightarrow{OA_j}\\
&=20-\left[\left(\sum_{i=1}^5\overrightarrow{OA_i}\right)^2-\sum_{i=1}^5\overrightarrow{OA_i}^2\right]\\
&=25-\left(\sum_{i=1}^5\overrightarrow{OA_i}\right)^2\\
&\leqslant 25,\end{split}\]当 $A_1A_2A_3A_4A_5$ 为正五边形时等号成立．因此所求平方和的最小值为 $25$．
题目
答案
解析
备注
