已知圆 $C:x^2+y^2=r^2$，两点 $P$，$P^*$ 在以 $O$ 为起点的射线上，并且满足 $|OP|\cdot |OP^*|=r^2$，则称 $P$，$P^*$ 关于圆周 $C$ 对称．那么双曲线 $x^2-y^2=1$ 上的点 $P(x,y)$ 关于单位圆周 $C:x^2+y^2=1$ 的对称点 $P^*$ 所满足的方程是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2014年湖南省高中数学竞赛
【标注】
【答案】
B
【解析】
在双曲线 $x^2-y^2=1$ 上任取一点 $(x_0,y_0)$，设其关于圆周 $C$ 的对称点为 $(x_0t,y_0t)$，则$$\sqrt {x_0^2+y_0^2}\cdot \sqrt{x_0^2t^2+y_0^2t^2}=1,$$解得 $|t|=\dfrac {1}{x_0^2+y_0^2}$．
令 $\begin{cases}x=x_0t,\\ y=y_0t,\end{cases}$ 则$$x^2=x_0^2t^2=\dfrac {x_0^2}{(x_0^2+y_0^2)^2},y^2=y_0^2t^2=\dfrac {y_0^2}{(x_0^2+y_0^2)^2}, $$故\[\begin{split} x^2-y^2&= \dfrac {x_0^2-y_0^2}{(x_0^2+y_0^2)^2}=\dfrac {1}{(x_0^2+y_0^2)^2},\\ x^2+y^2&= \dfrac {x_0^2+y_0^2}{(x_0^2+y_0^2)^2}=\dfrac {1}{ x_0^2+y_0^2 },\end{split}\]两式联立可得$$x^2-y^2=(x^2+y^2)^2,$$即 $P^*$ 的方程为$$x^2-y^2=(x^2+y^2)^2.$$
令 $\begin{cases}x=x_0t,\\ y=y_0t,\end{cases}$ 则$$x^2=x_0^2t^2=\dfrac {x_0^2}{(x_0^2+y_0^2)^2},y^2=y_0^2t^2=\dfrac {y_0^2}{(x_0^2+y_0^2)^2}, $$故\[\begin{split} x^2-y^2&= \dfrac {x_0^2-y_0^2}{(x_0^2+y_0^2)^2}=\dfrac {1}{(x_0^2+y_0^2)^2},\\ x^2+y^2&= \dfrac {x_0^2+y_0^2}{(x_0^2+y_0^2)^2}=\dfrac {1}{ x_0^2+y_0^2 },\end{split}\]两式联立可得$$x^2-y^2=(x^2+y^2)^2,$$即 $P^*$ 的方程为$$x^2-y^2=(x^2+y^2)^2.$$
题目
答案
解析
备注
