平面上满足约束条件 $\begin{cases}x\geqslant 2,\\ x+y\leqslant 0,\\ x-y-10\leqslant 0\end{cases}$ 的点 $(x,y)$ 形成的区域为 $D$，区域 $D$ 关于直线 $y=2x$ 对称的区域为 $E$，则区域 $D$ 和区域 $E$ 中距离最近的两点的距离为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2009年全国高中数学联赛辽宁省预赛
【标注】
【答案】
B
【解析】
由题意，只需求区域 $D$ 内的点到直线 $y=2x$ 的最近距离．
三条直线的交点为 $A(2,-2),B(2,-8),C(5,-5)$，区域 $D$ 为 $\triangle{ABC}$，点 $A$ 距距直线 $y=2x$ 最近，距离为$$\dfrac{|2\cdot 2-1\times(-2)|}{\sqrt 5}=\dfrac{6\sqrt 5}{5},$$所以区域 $D$ 和区域 $E$ 中距离最近的两点的距离为 $\dfrac{12\sqrt 5}{5}$．
三条直线的交点为 $A(2,-2),B(2,-8),C(5,-5)$，区域 $D$ 为 $\triangle{ABC}$，点 $A$ 距距直线 $y=2x$ 最近，距离为$$\dfrac{|2\cdot 2-1\times(-2)|}{\sqrt 5}=\dfrac{6\sqrt 5}{5},$$所以区域 $D$ 和区域 $E$ 中距离最近的两点的距离为 $\dfrac{12\sqrt 5}{5}$．
题目
答案
解析
备注
