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设 $M$ 是正方体各条棱的中点的集合，则过且仅过 $M$ 中 $3$ 个点的平面的个数是  \((\qquad)\)
A: $56$
B: $81$
C: $136$
D: $145$
【难度】
【出处】
2009年全国高中数学联赛辽宁省预赛
【标注】
  • 知识点
    >
    计数与概率
    >
    排列数与组合数
  • 知识点
    >
    立体几何
    >
    空间位置关系
    >
    点线面的位置关系
【答案】
A
【解析】
通过 $M$ 中 $3$ 个点的平面一共有 ${\rm C}_{12}^3=220$ 个（包含重复的），其中过且仅过 $M$ 中 $4$ 个点的平面个数为 ${\rm C}_{4}^3\cdot (9+12)=84$ 个；过 $M$ 中 $6$ 个点的平面共有 ${\rm C}_{6}^3\cdot 4=80$ 个；所以过且仅过 $M$ 中 $3$ 个点的平面共有 $220-84-80=56$ 个．
题目 答案 解析 备注
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