设 $a_n=2^n$，$b_n=n$（$n=1,2,3,\cdots$），$A_n,B_n$ 分别为数列 $\{a_n\},\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和．记 $c_n=a_nB_n+b_nA_n-a_nb_n$，则数列 $\{c_n\}$ 的前 $10$ 项和为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2009年全国高中数学联赛辽宁省预赛
【标注】
【答案】
D
【解析】
当 $n\geqslant 2$ 时，\[c_n=(A_n-A_{n-1})B_n+(B_n-B_{n-1})A_n-(A_n-A_{n-1})(B_n-B_{n-1}),\]所以$$c_n=A_nB_n-A_{n-1}B_{n-1},$$得\[\begin{split}&c_{10}=A_{10}B_{10}-A_9B_9,\\&c_9=A_9B_9-A_8B_8,\\&\cdots \\&c_2=A_2B_2-A_1B_1,\end{split}\]又$$c_1=a_1b_1=A_1B_1,$$故 $\{c_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $A_nB_n$．
于是数列 $\{c_n\}$ 的前 $10$ 项和为$$2(2^{10}-1)\cdot \dfrac{10\cdot 11}{2}=110(2^{10}-1).$$
于是数列 $\{c_n\}$ 的前 $10$ 项和为$$2(2^{10}-1)\cdot \dfrac{10\cdot 11}{2}=110(2^{10}-1).$$
题目
答案
解析
备注
