解法一 用 $(a,d)$ 表示首项为 $a$，公差为 $d$ 的等差数列，将所有等差数列组成矩阵．\[\begin{matrix}d&1&2&3&4&5&\cdots\\
&(1,1)&(1,2)&(1,3)&(1,4)&(1,5)&\cdots\\
&(2,1)&(2,2)&(2,3)&(2,4)&(2,5)&\cdots\\
&(3,1)&(3,2)&(3,3)&(3,4)&(3,5)&\cdots\\
&(4,1)&(4,2)&(4,3)&(4,4)&(4,5)&\cdots\\
&(5,1)&(5,2)&(5,3)&(5,4)&(5,5)&\cdots\\
&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\
\end{matrix}\]遍历这个矩阵，如\[A_{11}\to A_{12}\to A_{21}\to A_{31}\to A_{22}\to A_{13}\to\cdots,\]然后在每个等差数列中各挑出一个数组成数列\[a_1,a_2,a_3,\cdots,a_n\cdots,\]挑选数的规则为符合要求 $a_2>a_1$，且\[a_{n+2}>2a_{n+1}-a_n,\]把这个数列中的所有项组成集合 $P$，则集合 $P$ 和 $\complement_{\mathbb N}P$ 是符合题意的分划．这是因为集合 $P$ 中任何三项都无法构成等差数列，且集合 $\complement_{\mathbb N}P$ 中，无论首项和公差是多少，等差数列都至少被取走了 $1$ 项，因此其中不包含无穷等差数列．由于遍历矩阵的方式和构成数列的方式都有无穷种，因此有无穷种方式可以将正整数集合 $\mathbb{N}^*$ 分成两个不相交的子集的并，使得每个子集都不包含无穷等差数列．
解法二 令集合\begin{align*}
A_1&=\{1\},\\
A_2&=\{2,3\},\\
A_3&=\{4,5,6\},\\
A_4&=\{7,8,9,10\},\\
&\vdots\\
A_n&=\left\{\dfrac{n(n-1)}{2}+1,\dfrac{n(n-1)}{2}+2,\cdots,\dfrac{n(n+1)}{2}\right\},\\
&\vdots
\end{align*}取 $P=A_1\cup A_3\cup A_5\cup\cdots$，$Q=\complement_{\mathbb{N}^{*}}P$ 即满足题意；
取 $P=A_3\cup A_5\cup A_7\cup\cdots$，$Q=\complement_{\mathbb{N}^{*}}P$ 也满足题意；
取 $P=A_5\cup A_7\cup A_9\cup\cdots$，$Q=\complement_{\mathbb{N}^{*}}P$ 亦满足题意……
故满足题意的划分方式有无穷多种．