对于任意的整数 $n$（$n \geqslant 2$），满足 $a^n=a+1$，$b^{2n}=b+3a$ 的正数 $a$ 和 $b$ 的大小关系 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2010年全国高中数学联赛河北省预赛
【标注】
【答案】
A
【解析】
由题意知 $a>1$，$b>1$．
设函数 $f(x)=x^{2n}-x$，当 $n\geqslant 2$ 时，易知 $f(x)$ 在 $(1,+\infty )$ 上单调递增．
因为$$a^{2n}-a=a^2+a+1,\\b^{2n}-b=3a,$$而$$a^2+a+1>3a,$$所以$$f(a)=a^{2n}-a>b^{2n}-b=f(b),$$从而 $a>b>1$．
设函数 $f(x)=x^{2n}-x$，当 $n\geqslant 2$ 时，易知 $f(x)$ 在 $(1,+\infty )$ 上单调递增．
因为$$a^{2n}-a=a^2+a+1,\\b^{2n}-b=3a,$$而$$a^2+a+1>3a,$$所以$$f(a)=a^{2n}-a>b^{2n}-b=f(b),$$从而 $a>b>1$．
题目
答案
解析
备注
